两条直线的实 Zeuthen 数

给定三个自然数 $k,l,d$ 满足 $k+l=d(d+3)/2$，Zeuthen 数 $N_{d}(l)$ 定义为 $\PP^2$ 中经过 $k$ 个点且与 $l$ 条直线相切的 $d$ 次非奇异复代数曲线的数量。该数值不依赖于所选的点与直线的通用构型 $C$。若点和线均为实的，则相应的实曲线数量 $N_{d}^\RR(l,C)$ 通常依赖于所选构型。我们利用 Mikhalkin 的热带对应定理证明，对于两条直线的情形，实 Zeuthen 问题是极大的：存在一个构型 $C$ 使得 $N_{d}^\RR(2,C)=N_{d}(2)$。该对应定理将计算简化为对具有重数的特定格点路径进行计数。