类数与佩尔方程 $x^2 + 105y^2 = z^2$

毕达哥拉斯三元组与椭圆曲线是两类被充分研究的丢番图方程：前者可通过单位圆上的有理点进行参数化，后者对有理解群有结构定理。近来，Yekutieli讨论了这两类问题间的联系，并描述了毕达哥拉斯三元组的群结构以及给定斜边时三元组的数量。在arXiv:2112.03663中，我们将这些方法与结果推广至佩尔方程。当 $D$ 模4余1或2且 $\mathbb{Q}[\sqrt{-D}]$ 的类群为自由 $\mathbb{Z}_2$ 模（若类数不超过2则恒成立）时，我们对 $x^2 + Dy^2 = z^2$ 在给定 $z$ 下的解数找到了类似的群结构及计数。本文借助 $D=105$ 的一些具体例子，讨论arXiv:2112.03663的主要结果。