正定可克洛茨形式的实左对称代数与 K"ahler-Einstein 结构

设 $(\mathfrak{g}, \bullet)$ 为实左对称代数，$(\mathfrak{g}^-, [\;,\;])$ 为其对应的 Lie 代数。我们记 $L$ 为左乘算子 $\bullet$ 关联的算子。称对称双线性型 $\mathrm{B}(X, Y) = \mathrm{tr}(L_{X \bullet Y})$ 为 $(\mathfrak{g}, \bullet)$ 的可克洛茨形式。我们给出正定可克洛茨形式实左对称代数的完整描述及广泛类实例。特别地，我们证明对于具有正定可克洛茨形式的左对称代数若其为交换的或结合的或 Novikov 的，则该代数同构于 $\mathbb{R}^n$ 上其标准乘积。除代数兴趣外，我们进一步表明，任何具有正定可克洛茨形式的实左对称代数 $(\mathfrak{g}, \bullet)$ 都可诱导出负标量曲率的 K"ahler-Einstein 结构，作用于与 $(\mathfrak{g}^-, [\;,\;])$ 相关联的任意连通 Lie 群 $G$ 的切向束 $TG$。此外，可克洛茨形式正定左对称代数的描述导致一种新的非结合代数类，这些代数本身具有独立的兴趣并推广了 Hessian Lie 代数。