实永恒 PDE 解并非复整：一个二次抛物型例子

在抛物型或双曲型 PDE 中，对所有实时间 $t=r\in\mathbb{R}$ 保持一致有界的解通常被称为 PDE 整或永恒的。例如，考虑二次抛物型 PDE \begin{equation*} \label{*} w_t=w_{xx}+6w^2-\lambda, \tag{*} \end{equation*} 其中 $0<x<\tfrac{1}{2}$，在诺伊曼边界条件下。由于其梯度型结构，\eqref{*} 的所有实永恒非平衡轨道 $\Gamma(r)$ 在平衡点 $w=W_n(x)$ 之间都是异宿的。所有非平凡实 $W_n$ 都是经过缩放和适当平移的实值 Weierstrass 椭圆函数，其 Morse 指数为 $i(W_n)=n$。我们表明，趋向于 $W_0=-\sqrt{\lambda/6}$ 的解析实异宿轨道的复时间延拓 $\Gamma(r+\mathrm{i}s)$ 并非复整的。例如，考虑非线性且非保守的二次薛定谔方程 \begin{equation*} \label{**} \mathrm{i}\psi_s=\psi_{xx}+6\psi^2-\lambda \tag{**} \end{equation*} 在实初始条件 $\psi_0=\Gamma(r_0)$ 下的时间可逆复值解 $\psi(s)$。则存在 $r_0$ 使得 $\psi(s)$ 在某个有限实时间 $\pm s^*$ 处发生爆破。抽象地，我们的结果是在解析半群的框架下表述的。它们基于平衡点 $W_n$ 处不稳定特征值的 Poincaré 非共振，靠近叉式分岔。在技术上，我们必须排除离散的 $\lambda>0$ 集合，并且目前限于不稳定维数 $n\leq22$，或维数 $d<1+\tfrac{1}{\sqrt{2}}n$ 的快流形。