实混沌与复时间

实向量场 $\dot{z} = f(z)$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中对于复整函数 $f$ 可延拓至 $\mathbb{C}^N$。一个已知后果是在步长 $\varepsilon>0$ 的离散化或该周期的快速强迫下，同宿分裂具有指数小上界 \begin{equation*} \label{*} C_\eta \exp(-\eta/\varepsilon) \tag{*} \end{equation*}。此处假定 $\Gamma(t)$ 的复时间延拓在复水平条带 $|\mathrm{Im}\, t|\leq \eta$ 内解析。该现象与绝热消去、无穷阶平均、不可见混沌以及后向误差分析相关。然而，若 $\Gamma(t)$ 本身为复整函数呢？则 $\eta$ 可任意大。我们考虑极限双曲平衡点 $f(v_\pm)=0$ 之间的连接轨道 $\Gamma(t)$，其中实 $t\rightarrow\pm\infty$。对于线性化 $f'(v_\pm)$，我们假定在 $v_\pm$ 处分别具有非共振的实特征值。随后我们证明了 $\Gamma(t)$ 在复时间 $t$ 中存在奇点。在此意义上，实连接轨道伴随虚时间中的有限时间爆破。此外，这些奇点界定了指数估计 \eqref{*} 中容许的 $\eta$。具有复特征值或共振特征值的情况完全开放。因此我们提供1000欧元奖励给任何在上述设定下首个给出复整同宿轨道 $\Gamma(t)$ 的数学家，包括非永久博士后级别。此类例子将在离散化下展现超指数小的分界线分裂与超不可见混沌。我们还提供了一个时间可逆的整周期轨道例子，在离散化下具有超尖锐Arnold舌，亦称超不可见锁相。