有/无界面表面张力的分层可压缩流体中的 Rayleigh-Taylor 不稳定性

Guo--Tice 在 2011 年形式上确立了：在板域 $\mathbb{R}^2\times (h_-,h_+)$ 内的分层可压缩黏性流体中，无论是否存在界面表面张力，Rayleigh--Taylor 不稳定性都不可避免地发生，其中不稳定性解关于两个水平空间变量 $x_1$ 和 $x_2$ 均非周期，他们通过对线性化（运动）方程应用所谓的“正规模”方法和修正变分方法得到此结论。然而，Guo--Tice 的结论能否由（原始）非线性方程严格验证，是一个长期未决的开放问题。这一挑战源于无法构造关于两个水平空间变量均非周期的、定义于板域上线性化方程的增长模解。在本工作中，我们通过发展一种替代的逼近格式规避了与增长模解相关的困难。本质上，我们的方法依赖于构造线性化方程的水平周期增长模解来逼近不具有水平周期性的{\it 非线性} Rayleigh--Taylor 不稳定性解。得益于这一新逼近格式，我们能将 Guo--Hallstrom--Spirn 的自举不稳定性方法应用于拉格朗日坐标下的非线性方程，从而证明 Guo--Tice 的结论。特别地，我们的逼近方法也可应用于板域中由非周期运动刻画的其他不稳定性解，例如 Parker 不稳定性与热不稳定性。