Hahn–Exton $q$-Bessel 函数之比与 $q$-Lommel 多项式

1993 年 Delest 与 Fédou 证明，当参数 $\nu$ 为零时，连通斜形状的一个生成函数由 Hahn–Exton $q$-Bessel 函数之比 $J_{\nu+1}/J_{\nu}$ 给出。他们猜想当 $\nu$ 为非负整数时，该生成函数的系数是有理函数，其分子与分母均为 $q$ 的具有非负整数系数的多项式，这是 Kishore 1963 年关于 Bessel 函数结果的 $q$-类比。本文的第一个主要结果是对 Delest 与 Fédou 猜想的证明。第二个主要结果是对 Delest 与 Fédou 结果的精炼：具有有界对角线的连通斜形状的生成函数由 Koelink 与 Swarttouw 引入的 $q$-Lommel 多项式之比给出。本文还证明了比值 $J_{\nu+1}/J_{\nu}$ 具有两种不同的连分式表达，分别给出 $R_I$ 型正交多项式的矩生成函数与通常正交多项式的矩生成函数。文中使用了 Flajolet 与 Viennot 的正交多项式技术。