一种新的 q-Bernstein 多项式族：概率视角

本文引入了称为概率 q-Bernstein 多项式的新型多项式类及其生成函数。设 Y 为满足矩条件的随机变量，我们利用这些多项式的生成函数建立了新的关系。这些包括与概率斯特林第二类数和与 Y 相关的高阶概率 Bernoulli 多项式的联系。此外，我们推导了概率 q-Bernstein 多项式的递推与微分性质。利用莱布尼茨公式，我们给出生成函数的恒等式。在论文后半部分，我们通过选择合适的随机变量（如泊松、伯努利、二项、几何、负二项和均匀分布），探索了其应用，从而推导了概率 q-Bernstein 多项式与 Bell 多项式、斯特林第二类数、高阶 Frobenius-Euler 数以及高阶 Bernoulli 多项式之间的关系。我们还提出了概率 q-Bernstein 多项式的 p-adic q 积分与费米 p-adic q 积分表示。