$q$-多项式与函数的积分和级数表示：第一部分

通过应用 $q^{k^{2}}$ 的积分表示，我们系统地推导了大量新的傅里叶和梅林变换对，并为组合学、分析以及对应于不确定矩问题的正交多项式中自然出现的多种 $q$-函数和多项式建立了新的积分表示。这些函数包括 $q$-贝塞尔函数、Ramanujan 函数、Stieltjes--Wigert 多项式、$q$-Hermite 和 $q^{-1}$-Hermite 多项式，以及 $q$-指数函数 $e_{q}$、$E_{q}$ 和 $\mathcal{E}_{q}$。它们的表示又被用于推导许多涉及 $q$-函数和多项式的新恒等式。在本工作中，我们还给出了上述函数和多项式的围道积分表示。