斜多项式环上的快速Kötter-Nielsen-Høholdt插值及其在编码理论中的应用

斜多项式是一类非交换多项式，在计算机科学、编码理论与密码学中有若干应用。特别地，斜多项式可用于构造并解码若干度量下的求值码，例如Hamming度量、秩度量、和秩度量与斜度量。我们提出Kötter-Nielsen-Høholdt(KNH)插值算法的快速分治变体：它输入斜多项式向量上线性泛函的列表，并输出其核交集的约化Gröbner基。我们证明，所提出的KNH插值可用于求解基于插值的秩度量交织Gabidulin码、和秩度量线性化Reed-Solomon码与斜度量斜Reed-Solomon码解码中的插值步骤，所需在$\mathbb{F}_{q^m}$中的操作数至多为$\tilde{O}(s^{\omega} M(n))$，其中$n$为码长，$s$为交织阶数，$M(n)$为两个次数至多为$n$的斜多项式相乘的复杂度，${\omega}$为矩阵乘法指数，$\tilde{O}(\cdot)$为忽略对数因子的软O记号。这与先前这些任务的最佳速度相匹配，后者由自顶向下最小逼近基技术获得，并以自底向上KNH方法补充了自由斜多项式模上高效插值理论。与自顶向下方法不同，自底向上KNH算法对插值点无要求，因此不需要任何预处理。