阿贝尔簇模空间的有理性与算术

我们研究主极化阿贝尔 $g$-fold 在 $\mathbb{Q}$ 上的模空间 $\mathcal{A}_g$ 的有理性性质，并将结果应用于算术问题。特别地，我们证明 $\mathbb{F}_p$ 上的任意主极化阿贝尔三维簇都可提升到 $\mathbb{Q}$ 上的阿贝尔簇。这是一种低维现象：在假设 Bombieri-Lang 猜想的前提下，我们也证明对维数至少为七的阿贝尔簇情况并非如此。关于模空间，我们证明 $\mathcal{A}_g$ 在 $g \leq 5$ 时于 $\mathbb{Q}$ 上是单有理的，而在 $g=3$ 时是稳定有理的。这也使我们能够将 Masser 和 Zannier 关于存在不与雅可比簇同源的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔簇的结果变为无条件成立。