平方判别数的 Humbert urface 的有理点与 zeta 函数

本文考察了 $\mathcal{L}_n$ 的算术性质，该集合参数化在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的 genus 2 曲线，其雅可比具有 $(n, n)$-split 结构。我们计算了在 $\mathbb{F}_3$、$\mathbb{F}_9$、$\mathbb{F}_{27}$、$\mathbb{F}_{81}$、$\mathbb{F}_5$、$\mathbb{F}_{25}$、$\mathbb{F}_{125}$ 上的有理点数 $|\mathcal{L}_n(\mathbb{F}_q)|$，并推导了 $n = 2, 3$ 时的 zeta 函数 $Z(\mathcal{L}_n, t)$。利用这些结果，我们探讨了基于同构的密码学，提出了一种通过显式方程检测 split 雅可比的方法，结合内嵌环分析和机器学习优化。这一工作推进了后量子 genus 2 系统在特征无关性和安全性方面的曲线选择、安全性分析和协议设计。