算子的秩一分解与框架的构造

为希尔伯特空间 H 构造框架可等同于将框架算子分解为具有秩一的正算子之和。这一认识为具有特定性质的框架相关问题提供了不同的途径，并启发了我们的结果。我们找到了一个充要条件，在此条件下任意正有限秩算子 B 可表示为秩一算子之和，其范数由正数列 {c_i} 指定。等价地，该结果证明了存在一个以 B 为框架算子且向量范数由该序列元素的平方根给出的框架。我们进一步证明，给定无限维可分实或复希尔伯特空间上的非紧正算子 B，以及给定具有无限和且上确界严格小于 B 的本质范数的正实数无限序列 {c_i}，存在一个范数由 {c_i} 给出的秩一正算子序列，其在强算子拓扑下求和至 B。这些结果推广了 Casazza、Kovacevic、Leon 和 Tremain 的结果（其中算子为恒等算子的标量倍，或等价地框架为紧框架），以及 Dykema、Freeman、Kornelson、Larson、Ordower 和 Weber 的结果（其中 {c_i} 为常值序列）。