余双交换子模的秩为 2

我们证明了一个非平凡的余双交换子模的秩为 $2$。更确切地说，设 $\varphi, \psi \in H^\infty(\mathbb{D})$ 为两个内函数。若 $\mathcal{Q}_{\varphi} = H^2(\mathbb{D})/ \varphi H^2(\mathbb{D})$ 且 $\mathcal{Q}_{\psi} = H^2(\mathbb{D})/ \psi H^2(\mathbb{D})$，则 $$\mbox{rank~}(\mathcal{Q}_{\varphi} \otimes \mathcal{Q}_{\psi})^\perp = 2.$$ 一个直接推论如下：设 $\mathcal{S}$ 为 $H^2(\mathbb{D}^2)$ 的一个余双交换子模。则 $\mbox{rank~} \mathcal{S} = 1$ 当且仅当存在某个单变量内函数 $\Phi \in H^\infty(\mathbb{D}^2)$ 使得 $\mathcal{S} = \Phi H^2(\mathbb{D}^2)$。这回答了 R. G. Douglas 和 R. Yang 提出的一个问题。