$H^2(\mathbb{D}^2)$ 中的 Rudin 子模

设 $\{\alpha_n\}_{n\geq 0}$ 为 $\mathbb{C}$ 开单位圆盘内的标量序列，$\{l_n\}_{n\geq 0}$ 为满足 $\sum_{n=0}^\infty (1 - l_n|\alpha_n|) <\infty$ 的自然数序列。则联合 $(M_{z_1}, M_{z_2})$ 不变子空间 $$\mathcal{S}_{\Phi} = \vee_{n=0}^\infty \Big( z_1^n \prod_{k=n}^\infty \left(\frac{-\bar{\alpha}_k}{|\alpha_k|} \frac{z_2 - \alpha_k}{1 - \bar{\alpha}_k z_2}\right)^{l_k} H^2(\mathbb{D}^2)\Big),$$ 称为 Rudin 子模。本文分析了 Rudin 子模类，并证明了 $$\text{dim} (\mathcal{S}_{\Phi}\ominus (z_1 \mathcal{S}_{\Phi}+ z_2\mathcal{S}_{\Phi}))= 1+\#\{n\ge 0: \alpha_n=0\}<\infty.$$ 特别是，这回答了 Douglas 和 Yang (2000) 早先提出的一个问题。