Rudin 子模的交叉交换子

设 $b(z) = \prod_{n=1}^\infty \frac{-\bar{\alpha}_n}{|\alpha_n|} \frac{z - \alpha_n}{1 - \bar{\alpha}_n z}$，其中 $\sum_{n=1}^\infty (1 - |\alpha_n|) <\infty$，为零点位于 $\alpha_n \in \mathbb{D} \setminus \{0\}$ 的 Blaschke 乘积。则 $\cls = \vee_{n=1}^\infty \big(z^n H^2(\mathbb{D})\big) \otimes \big(\prod_{k=n}^\infty \frac{-\bar{\alpha}_n}{|\alpha_n|} \frac{z - \alpha_n}{1 - \bar{\alpha}_n z} H^2(\mathbb{D})\big)$ 是 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D}^2) \cong H^2(\mathbb{D}) \otimes H^2(\mathbb{D})$ 的一个联合 $(M_{z_1}, M_{z_2})$ 不变子空间。这类子空间最初由 Rudin 在 $H^2(\mathbb{D}^2)$ 的移位不变子空间生成集基数为无限的背景下引入。\noindent 在本文中，我们证明了对于 $H^2(\mathbb{D}^2)$ 的 Rudin 不变子空间 $\cls$，其交叉交换子 $[(P_{\cls} M_{z_1}|_{\cls})^*, M_{z_2}|_{\cls}] = (P_{\cls} M_{z_1} |_{\cls})^* (M_{z_2}|_{\cls}) - (M_{z_2}|_{\cls}) (P_{\cls} M_{z_1}|_{\cls})^*$ 不是紧算子。因此，Rudin 的不变子空间既是无限生成的，也不是本质双交换的。