维度 $d=2,3$ 的随机横场 Ising 模型：基于非线性传递方法的无穷无序标度

针对 Cayley 树上的随机横场 Ising 模型发展的“腔-平均场”近似 [L. Ioffe and M. Mézard, PRL 105, 037001 (2010)]，已被发现能够重现 $d=1$ 中表面磁化的已知精确结果 [O. Dimitrova and M. Mézard, J. Stat. Mech. (2011) P01020]。在本文中，我们提出通过针对表面磁化的非线性传递方法，将这些思想推广至有限维度 $d>1$。在无序相中，传递方程的线性化对应于横向维度 $D=d-1$ 的随机介质中有向聚合物的传递矩阵，这与首阶微扰标度分析一致 [C. Monthus and T. Garel, arxiv:1110.3145]。我们给出了维度 $d=2$ 和 $d=3$ 下非线性传递方法的数值结果。在两种情况下，我们发现临界点均由无穷无序标度主导。特别地，恰好在临界点处，单点表面磁化标度为 $\ln m_L^{surf} \simeq - L^{\omega_c} v$，其中 $\omega_c(d)$ 与对应有向聚合物模型的液滴指数 $\omega_{DP}(D=d-1)$ 一致，其中 $\omega_c(d=2)=1/3$ 且 $\omega_c(d=3) \simeq 0.24$。阶为 $O(1)$ 的正随机变量 $v$ 的分布 $P(v)$ 在原点附近呈现幂律奇异性 $P(v) \propto v^a$，其中 $a(d=2,3)>0$，使得表面磁化的所有矩均由相同的幂律衰减 $\bar{(m_L^{surf})^k} \propto L^{- x_S}$ 主导，其中 $x_S=\omega_c (1+a)$ 且与阶数 $k$ 无关。