有限非退化子空间直和的随机生成

设 $V$ 是有限域 $\mathbb{F}$ 上的一个 $d$ 维向量空间，并配备一个非退化的厄米、交错或二次型。若 $V$ 是厄米的，假设 $|\mathbb{F}|=q^2$，否则 $|\mathbb{F}|=q$。给定满足 $e+e'\leqslant d$ 的整数 $e, e'$，我们估计了满足 $U\cap U'=0$ 且 $U\oplus U'$ 非退化的非退化 $e$-子空间 $U$ 与非退化 $e'$-子空间 $U'$ 对 $(U, U')$ 的比例（和 $U\oplus U'$ 是直和且通常不正交）。该比例被证明是正的，且至少为 $1-c/q>0$，其中 $c$ 为某个常数。例如，在酉和辛情形下，$c=7/4$ 就足够了。正交情形下的论证较为精细，并假设 $\dim(U)$ 和 $\dim(U')$ 为偶数，这一假设与识别有限典型群的算法应用（我们对此进行了讨论）相关。我们还描述了识别一个典型群 $G$ 如何依赖于某些非退化子空间对 $(U,U')$ 与某些群元素对 $(g,g')\in G^2$ 之间的联系，其中 $U={\rm im}(g-1)$ 且 $U'={\rm im}(g'-1)$。