两个互补维数的非退化子空间张成经典空间的概率

设 $n,n'$ 为正整数，令 $V$ 为有限域 $\mathbb{F}$ 上的 $(n+n')$ 维向量空间，配备非退化交错型、Hermitian 型或二次型。我们估计满足 $U+ U'=V$ 的数对 $(U, U')$ 的比例，其中 $U$ 是 $V$ 的非退化 $n$ 维子空间，$U'$ 是非退化 $n'$ 维子空间（通常这样的空间 $U$ 与 $U'$ 不垂直）。证明该比例在辛或酉情形下至少为 $1-c/|\mathbb{F}|$，其中某常数 $c\leqslant 2$；在正交情形下 $c<3$。