虚二次域上一元 Hermite 格的 $g$-不变量算法

设 $E=\mathbb{Q}\big(\sqrt{-d}\big)$ 为无平方因子正整数 $d$ 对应的虚二次域，$\mathcal{O}$ 为其整数环。对每个正整数 $m$，令 $I_m$ 为具有标准正交基的 $\mathcal{O}$ 上自由 Hermite 格，令 $\mathfrak{S}_d(1)$ 为所有可被某个 $I_m$ 表示的 $\mathcal{O}$ 上正定整一元 Hermite 格的集合，令 $g_d(1)$ 为使得 $\mathfrak{S}_d(1)$ 中所有 Hermite 格均可被 $I_{g_d(1)}$ 一致表示的最小正整数。本文的主要结果给出了一个算法，可计算每个虚二次域 $E$ 下 $\mathfrak{S}_d(1)$ 的显式形式以及 $g_d(1)$ 的精确值，这可视为格背景下 Pythagoras 数的自然推广。