类数为 $2$ 或 $3$ 的虚二次域上一元 Hermite 格的 $g$-不变量

本文研究虚二次域上的一元 Hermite 格。设 $E=\mathbb{Q}\big(\sqrt{-d}\big)$ 为无平方因子正整数 $d$ 的虚二次域，并设 $\mathcal{O}$ 为其整数环。对每个正整数 $m$，令 $I_m$ 为 $\mathcal{O}$ 上带标准正交基的自由 Hermite 格，令 $\mathfrak{S}_d(1)$ 为所有可被某 $I_m$ 表示的 $\mathcal{O}$ 上正定整一元 Hermite 格之集合，并令 $g_d(1)$ 为最小正整数使得 $\mathfrak{S}_d(1)$ 中所有 Hermite 格可被 $I_{g_d(1)}$ 一致表示。本文主要结果确定了对每个类数为 $2$ 或 $3$ 的虚二次域 $E$，$\mathfrak{S}_d(1)$ 的显式形式与 $g_d(1)$ 的精确值。