Hermite 约化与数域上整二次型的华林问题

我们将 $\mathbb Q$ 上正定二次型的 Hermite-Korkin-Zolotarev（HKZ）约化理论及其近期由 Beli-Chan-Icaza-Liu 引入的平衡版本推广到全实数域 $K$ 上的正定二次型。我们应用平衡 HKZ 约化理论研究 $K$ 的整数环的 {\em $g$-不变量} 的增长。更确切地说，对每个正整数 $n$，设 $\mathcal O$ 为 $K$ 的整数环，$g_{\mathcal O}(n)$ 为最小整数，使得每个 $n$ 元 $\mathcal O$-线性型的平方和必为 $g_{\mathcal O}(n)$ 个 $n$ 元 $\mathcal O$-线性型的平方和。我们证明当 $K$ 的类数为 1 时，$g_{\mathcal O}(n)$ 的增长至多为 $\sqrt{n}$ 的指数函数。这推广了 Beli-Chan-Icaza-Liu 近期关于 $g_{\mathbb Z}(n)$ 增长的结果，并给出了除 $\mathbb Z$ 外整数环 $\mathcal O$ 的 $g_{\mathcal O}(n)$ 的首个亚指数上界。