四个格常数的更紧界

Korkine--Zolotareff (KZ) 约化及其推广是通信与密码学中广泛使用的格约化策略。KZ 常数与 Schnorr 常数由 Schnorr 于 1987 年定义。KZ 常数可用于量化 KZ 约化矩阵的一些有用性质。Schnorr 常数可用于刻画其分块 $2k$-约化输出的质量，并用于定义其半分块 $2k$-约化（同样于 1987 年提出）。Hermite 常数作为格的基本常数，有许多应用，例如界定最短非零格向量的长度与格的正交亏。Rankin 常数由 Rankin 于 1953 年引入，作为 Hermite 常数的推广。它在刻画 Gama 等人于 2006 年提出的分块 Rankin 约化输出质量方面起着重要作用。本文首先给出 Hermite 常数的线性上界，并由此导出 KZ 常数的上界。这些上界比作者近期所得更紧，且新的线性上界与 Blichfeldt 于 1929 年给出的 Hermite 常数非线性上界之比渐近为 1.0047。此外，我们给出了 Schnorr 常数的下界与上界。其下界相较 Gama 等人所得最紧现有下界渐近改进约 1.7 倍，其上界相较同样由 Gama 等人所得最紧现有上界渐近改进约 4 倍。最后，我们给出了 Rankin 常数的下界与上界。这些界相较同样由 Gama 等人所得最紧现有界的改进在定义该常数的参数上是指数级的。