辛K理论与Murthy的一个问题

我们计算了与Hermite环猜想研究相关的某些环的低维K群。其中包括一个单项环，其低维K群最近由Krishna和Sarwar在底环为含有理数的正则环的情形下算出。我们能够将他们的结果推广到任意正则底环，从而完整回答了Gubeladze的一个问题。我们的计算仅依赖于某些方便选取的解析拼接图。这些拼接图也使我们能够研究Murthy所提问题中出现的稳定自由模。它们使得将Murthy的问题与一个稳定问题（关于辛K理论与普通K理论之间的关系）联系起来成为可能。更确切地说，我们证明若稳定问题有肯定答案则Murthy的问题有解，而稳定问题的否定答案意味着存在Hermite环猜想的反例。由于Murthy问题中出现的模秩为2，上述论证依赖于一些关于用2×2矩阵进行拼接的定理。这些定理使用了所谓的伪初等2×2矩阵，这是我们引入的一个概念，使得某些对较大矩阵成立的结果可以推广到2×2矩阵的情形（若用伪初等矩阵代替初等矩阵）。例如，我们证明了关于正则环含一个域上的多项式扩张上矩阵的Vorst定理的类似结论对2×2矩阵成立。