关于具有余维$2$阿贝尔理想的李代数上的Streets-Tian猜想

Hermitian-辛度量是一种Hermitian度量，其Kähler形式由一个闭2-形式的$(1,1)$-部分给出。Streets-Tian猜想指出，一个允许Hermitian-辛度量的紧复流形必定是Kähler流形（即允许一个Kähler度量）。该猜想在二维情形下已知为真，但在三维或更高维情形下，除了一些特殊情况（如扭子空间（Verbitsky）、Fujiki ${\mathcal C}$空间（Chiose）、Vaisman流形（Angella-Otiman）等）外，通常是开放的。对于李复流形（即李群$G$关于离散子群$\Gamma$的紧商，带有左不变复结构），该猜想也在许多特殊情况下得到证实，包括当$G$是幂零的（Enrietti-Fino-Vezzoni）、当$G$是完全可解的（Fino-Kasuya）、或当$J$是阿贝尔的（Fino-Kasuya-Vezzoni）、或$G$是几乎阿贝尔的（Fino-Kasuya-Vezzoni, Fino-Paradiso）等。在本文中，我们进行了详细的案例分析，并证实了对于其李代数包含一个余维$2$的阿贝尔理想的$G$，Streets-Tian猜想成立。这样的李代数总是可解的，步长至多为$3$，但通常不是$2$步可解的，也不是完全可解的。我们的方法是显式的，通过描述此类李代数上的Hermitian-辛度量以及将它们形变为Kähler度量的路径，以期增进我们对非Kähler几何中这个有趣猜想的微妙性和复杂性的理解。