Kannaka--Tojo 所定义的广义 Hurwitz--Radon 数的几何解释

Hurwitz--Radon 数源于二次型的组合问题，与球面上点线性无关向量域的最大数目有关。Kannaka--Tojo [arXiv:2602.04544] 在实红旗 Lie 代数 $\mathfrak g$ 及其忠实表示 $\iota$ 的设置下重新表述了 Hurwitz--Radon 数，并引入了两个自然数 $\rho^{(1)}(\mathfrak g,\iota)$ 和 $\rho^{(2)}(\mathfrak g,\iota)$。对于经典 Lie 代数及其标准表示，这两个数在除少数情况外 coincide。本文中，固定一个 Lie 群 $G$ 和 $\mathfrak g = \mathrm{Lie}~G$ 的一个子空间 $\mathfrak{s}$，我们定义自然数 $\rho_{G,\mathfrak{s}}(M,\sigma)$ 和 $\rho^{\pm}_{G,\mathfrak{s}}(M,\sigma,\nabla)$ 用于 $G$-流形 $(M,\sigma)$ 及其仿射联结 $\nabla$。这些数以 $M$ 上的基本向量场的形式定义。在特殊情况下，我们证明 $\rho_{G,\mathfrak{s}}(M,\sigma)$ 与 $\rho^{(2)}(\mathfrak g,\iota)$ coincide，且 $\rho^{-}_{G,\mathfrak{s}}(M,\sigma,\nabla)$ 与 $\rho^{(1)}(\mathfrak g,\iota)$ coincide。进一步地，我们证明 $\rho^{+}_{G,\mathfrak{s}}(M,\sigma,\nabla)$ 与 $M$ 上的 Clifford 结构相关。