自由场实现与手征泛中心化子

在 Moore-Tachikawa 描述 $\mathcal{S}$ 类理论 Higgs 分支的 TQFT 形式体系中，类型 $\mathfrak{g}$ 中无穿孔球所对应的空间是泛中心化子 $\mathfrak{Z}_G$，其中 $\mathfrak{g}=Lie(G)$。用更物理的术语说，该空间作为三维纯 $\mathcal{N}=4$ 规范理论（规范群为 Langlands 对偶 $\check{G}$）的 Coulomb 分支出现。在描述 $\mathcal{S}$ 类手征代数的类似形式体系中，球所对应的顶点代数被称为\emph{手征泛中心化子}。本文中，我们构造了从 $\mathfrak{g}$ 型 Kostant-Toda 格的覆盖到 $G$ 的泛中心化子的开辛嵌入，推广了 Kostant 的经典结果。利用该嵌入以及对 $\mathfrak{Z}_G$ 泊松代数结构的一些观察，我们提出了任意单群 $G$ 的手征泛中心化子的自由场实现。我们利用该实现发展了 genus 为零、最多六个穿孔的 $\mathfrak{a}_1$ 型 $\mathcal{S}$ 类理论手征代数的自由场实现。这些实现使广义 $S$-对偶完全显明，推广到多于六个穿孔在概念上清晰，尽管技术上繁重。