通过约化代数求解 Klein-Gordon 方程的精确解

约化代数（也称为广义 Mickelsson 代数、Zhelobenko 代数或 transvector 代数）是表示论中常见的结合代数。在 1990 年代，Zhelobenko 指出约化代数与物理场方程存在关联，而 Howe 在 1980 年代对双对偶的研究表明，这一联系更早就已存在。本文我们重新考察标量场的最简单情况，在任意时空维数 $n\ge 3$ 中以及任意平坦度规 $\eta_{ab}$ 下工作。我们回顾到，场方程在适当的度规下可特化为齐次 Laplace 方程和（无质量）Klein-Gordon 方程；相应地，存在由微分算子表示的 $\mathfrak{sl}_2$ 代数（技术上是 $\mathfrak{sp}_2$）以及相关联的约化代数。约化代数包含升算符，提供构建作为特定次数 $\ell$ 多项式求解相关场方程的玻色态 $|a_1a_2\cdots a_\ell\rangle$ 的方法。我们给出这些解的显式公式并证明它们所构成解空间多项式部分。我们还给出约化代数的完整表述，并通过有理动力学 R 矩阵计算玻bose 态之间的内积。