Banach空间中归一化序列的Ramsey性质与块振荡稳定性

Ramsey定理在Banach空间理论中的一个著名应用是证明每个归一化基序列都有生成展开模型（spreading model）的子序列（Brunel-Sucheston定理）。基于此应用并作为一个中间步骤，我们可以讨论$(k,\varepsilon)-$振荡稳定序列的概念，本文将更一般地描述并分析之。事实上，我们引入$((\mathcal{B}_i)_{i=1}^k,\varepsilon)-$块振荡稳定序列的概念，其中$(\mathcal{B}_i)_{i=1}^k$是一有限障碍序列，并使用我们所称的障碍块。特别地，我们证明Ramsey定理等价于如下陈述：“对每一有限障碍序列$(\mathcal{B}_i)_{i=1}^k$、每一$\varepsilon>0$及每一归一化序列$(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$，存在子序列$(x_i)_{i\in M}$是$((\mathcal{B}_i\cap\mathcal{P}(M))_{i=1}^k,\varepsilon)-$块振荡稳定的”，其中$\mathcal{P}(M)$是无限集M的幂集。此外，我们引入归一化基序列的$(\mathcal{B}_i)_{i\in\mathbb{N}}-$块渐近模型，其中$(\mathcal{B}_i)_{i\in\mathbb{N}}$是一障碍序列。这些模型是展开模型的推广，并与$((\mathcal{B}_i)_{i=1}^k,\varepsilon)-$块振荡稳定序列相关。我们展示Brunel-Sucheston定理对$(\mathcal{B}_i)_{i\in\mathbb{N}}-$块渐近模型成立，并证明该结果等价于Ramsey定理。我们的定理与Brunel-Sucheston定理的区别在于通过它们从同一归一化基序列所获得的不同模型的数量。文章末尾的例子中指出了这一点及关于$(\mathcal{B}_i)_{i\in\mathbb{N}}-$块渐近模型的其他观察。