含c_0的Banach空间的一个刻画
泛函分析
2016-09-06 v1
摘要
得到了一个子列原理，刻画含c_0的Banach空间，其精神源于作者1974年对含\ell^1的Banach空间的刻画。定义：Banach空间中的序列(b_j)称为{\it 强求和的/}（s.s.），若(b_j)是弱Cauchy基本列，使得只要标量(c_j)满足 \sup_n \|\sum_{j=1}^n c_j b_j\| <\infty，则 \sum c_j 收敛。一个简单的不变性：若(b_j)是Banach空间B的(s.s.)基，且(b_j^*)是其在B^*中的双正交泛函，则(\sum_{j=1}^n b_j^*)_{n=1}^ \infty 是B^*中的非平凡弱Cauchy列；因此B^*不是弱序列完备的。（弱Cauchy列称为{\it 非平凡的/}，若它是{\it 非弱收敛的/}。）定理。（实或复）Banach空间中的每个非平凡弱Cauchy列，要么有{\rm (s.s.)}子列，要么有等价于求和基的凸块基。注：易见定理的两种情形互斥。推论1。Banach空间B不含c_0的同构当且仅当B中每个非平凡弱Cauchy列都有{\rm (s.s.)}子列。结合c_0与\ell^1定理，得到推论2。若B是非自反Banach空间，且对B的所有线性子空间X，X^*弱序列完备，则c_0嵌入X中；事实上，B具有性质~(u)。
引用
@article{arxiv.math/9210205,
title = {A characterization of Banach spaces containing $c_0$},
author = {Haskell P. Rosenthal},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9210205},
year = {2016}
}