R-对角膨胀半群

本文探讨了自由概率论中将复 Ornstein-Uhlenbeck 半群推广到算子代数的情形。若 $a_1,...,a_k$ 是 $\mathrm{II}_1$ 因子中的 $\ast$-自由 $\mathscr{R}$-对角算子，则 $D_t(a_{i_1}... a_{i_n}) = e^{-nt} a_{i_1}... a_{i_n}$ 定义了由 $a_1,...,a_k$ 生成的非自伴算子代数上的一个膨胀半群。我们证明了 $D_t$ 可以（以两种不同方式）扩展为由 $a_1,...,a_k$ 生成的冯·诺依曼代数上的完全正映射半群。此外，我们证明了 $D_t$ 满足最优超压缩性质：对于小的 $t>0$，有 $\|D_t\colon L^2\to L^\infty\| \sim t^{-1}$。