自由亚交换群 IA-自同构的商群

对于正整数 $n$，且 $n \geq 2$，令 $M_n$ 为秩为 $n$ 的自由亚交换群。对于 $c \in \mathbb{N}$，令 $\gamma_c(M_n)$ 为 $M_n$ 下中心列的的第 $c$ 项。对于 $c \geq 2$，令 ${\rm I}_{c}{\rm A}(M_n)$ 为 ${\rm Aut}(M_{n})$ 的子群，由所有在 $M_n/\gamma_c(M_n)$ 上诱导恒等映射的自同构组成。本文研究所有 $n$ 和 $c$ 下的商群 ${\cal L}^{c}({\rm IA}(M_{n})) = {\rm I}_{c}{\rm A}(M_n)/{\rm I}_{c+1}{\rm A}(M_n)$。对于 $c \geq 2$，我们证明 $\gamma_{c}({\rm IA}(M_{2})) = {\rm I}_{c+1}{\rm A}(M_{2})$。对于 $n = 3$，我们证明 $\gamma_{3}({\rm IA}(M_{3})) \neq {\rm I}_{4}{\rm A}(M_{3})$，因此 Andreadakis 猜想（对自由亚交换群）在 $n = 3$ 且 $c = 3$ 时不成立。对于 $n \geq 4$ 且 $c \geq 3$，我们证明 ${\cal L}^{c}({\rm IA}(M_{n})) = \gamma_{c-1}({\rm IA}(M_{n})){\rm I}_{c+1}{\rm A}(M_{n})/{\rm I}_{c+1}{\rm A}(M_{n})$。