Mastermind 变种的查询复杂度

我们研究 Mastermind 的变种，这是一种目标为序列重构的流行棋盘游戏。在这个双人游戏中，所谓的“密码制造者”构造一个隐藏序列 $H = (h_1, h_2, \ldots, h_n)$，其颜色选自字母表 $\mathcal{A} = \{1,2,\ldots, k\}$（即对所有 $i\in\{1,2,\ldots, n\}$，$h_i\in\mathcal{A}$）。游戏随后按回合进行，每回合包含两部分：在第 $t$ 回合，第二位玩家（“密码破译者”）首先提交一个查询序列 $Q_t = (q_1, q_2, \ldots, q_n)$，其中对所有 $i$，$q_i\in \mathcal{A}$，其次接收反馈 $\Delta(Q_t, H)$，其中 $\Delta$ 是某种约定的关于两个具有 $n$ 个分量的序列之间的距离函数。当 $Q_t = H$ 时游戏终止，密码破译者寻求以尽可能少的回合结束游戏。在本文中，我们令 $f(n,k)$ 表示使密码破译者能在 $f(n,k)$ 回合内确定任意 $H$ 的最小整数。我们证明了三个主要结果：第一，当已知 $H$ 是 $\{1,2,\ldots, n\}$ 的一个排列时，我们证明对所有足够大的 $n$，$f(n, n)\ge n - \log\log n$。第二，我们表明 Knuth 的极小化极大算法最多在 $nk$ 次查询内识别任意 $H$。第三，当直到所有查询提交后才接收反馈时，我们表明 $f(n,k)=\Omega(n\log k)$。