玩多色Mastermind游戏

我们分析了经典猜谜游戏Mastermind的通用版本，其中有$n$个位置和$k$种颜色。由于$k \le n^{1-\varepsilon}$（$\varepsilon>0$为常数）的情况已得到充分理解，我们专注于更多颜色的情况。对于最突出的情况$k=n$，我们的结果表明，Codebreaker可以用$O(n \log \log n)$次猜测找到秘密代码。这个界限也适用于仅使用黑色答案钉的情况。它改进了Chvátal首次证明的$O(n \log n)$界限（Combinatorica 3 (1983), 325--329）。我们还表明，如果同时使用黑色和白色答案钉，则$O(n \log\log n)$界限适用于多达$n^2 \log\log n$种颜色。这些界限几乎是紧的，因为已知的下界为$\Omega(n)$。与$k \le n^{1-\varepsilon}$的情况不同，仅通过随机猜测直到确定秘密代码是不够的。事实上，我们表明，最优的非自适应策略（确定性的或随机性的）需要$\Theta(n \log n)$次猜测。