具有线性查询数的 Mastermind 游戏

自 1960 年代以来，Mastermind 因其所具备的组合与信息论趣味而受到研究。许多结果相继被发现，始于 Erd\H{o}s 和 R\'enyi 确定了两种颜色所需的最优查询数。对于 $k$ 种颜色和 $n$ 个位置，Chv\'atal 在 $k \le n^{1-\epsilon}$ 时给出了渐近最优界。在 $k \geq n$ 种颜色的一系列逐步改进之后，核心的开放问题是为 $k=n$ 消除 $\Omega(n)$ 与 $\mathcal{O}(n\log \log n)$ 之间的鸿沟。本文中，我们给出首个以线性查询数求解 $k=n$ 的 Mastermind 的算法，从而解决了这一鸿沟。作为推论，我们得以确定任意参数 $k$ 和 $n$ 下 Mastermind 的查询复杂度。