是非排列版Mastermind的精确查询复杂度

Mastermind是一款著名的两人游戏。第一名玩家（出题者）选择一个秘密代码，第二名玩家（破译者）应在最少的代码猜测（查询）次数内破解它。因此，出题者的职责是在每次查询后，通过提供秘密代码与猜测代码之间一个定义良好的误差度量来协助破译者。我们考虑一种变体，称为是非AB-Mastermind，其中秘密代码与查询均须无重复，且出题者提供的信息仅指示某次查询是否包含任何正确位置。对于这种具有n个位置和$k\le n$种颜色的Mastermind版本，我们证明了破解秘密代码所需查询次数的下界为$\log_2(k+1-n)+\log_2(k+2-n)+\dots+\log_2(k)$，上界为$n\log_2(n)+k$。对于重要的$k=n$情形，即秘密代码与查询均表示排列，我们的结果意味着精确的渐近复杂度为$\Theta(n\log_2(n))$次查询。