猜数字游戏的难度

Mastermind（猜数字）是一款于 1971 年发布的流行棋盘游戏，其中密码设定者选择一个由彩色 peg 组成的秘密模式，密码破解者需在多次尝试中猜出该模式。每次尝试后，密码破解者会收到密码设定者的反馈，其中包含关于正确猜测 peg 数量的信息。因此，搜索空间在每一轮都会缩小，游戏持续进行，直到密码破解者找到正确代码或尝试次数耗尽。本文研究了#MSP 的几种变体，#MSP 是计算由给定（可能是虚构的）猜测和反馈序列产生的搜索空间大小的问题。我们的主要贡献是证明了#MSP 在单射归约下的#P-完全性，这解决了 Stuckman 和 Zhang 在 2005 年提出的一个开放问题，即判断秘密代码是否由之前的猜测和反馈唯一确定的复杂性。同样，即使承诺搜索空间至少包含 k 个元素（对于任意常数 k），#MSP 在图灵归约下仍保持#P-完全性。（在常规的 Mastermind 游戏中，k=1。）即使在最严格的设定下，即只有两种可用的 peg 颜色，或者密码设定者的反馈包含较少信息（例如所谓的单计数（黑色 peg）Mastermind 变体），我们的所有难度结果依然成立。