Smale-Barden 流形上的拟正则 Sasaki 与 K-接触结构

Smale-Barden 流形是单连通闭 5-流形。判定 Smale-Barden 流形何时容许 Sasaki 或 K-接触结构是一个重要且困难的问题。已知的 Sasaki 与 K-接触结构构造主要通过两种技术获得：要么是链环（Boyer 和 Galicki），要么是光滑 orbifold 上的半正则 Seifert 纤维化（Koll\'ar）。近来，本文第二作者开启了拟正则 Seifert 纤维化的系统发展，即其底 orbifold 未必光滑。本工作致力于该理论的若干应用。首先，我们构造了一个容许拟正则 Sasaki 结构但不容许半正则 K-接触结构的 Smale-Barden 流形。其次，我们确定了所有容许零 Sasaki 结构的 Smale-Barden 流形。最后，我们在循环 K\"ahler orbifold 中给出一个反例，反驳如下代数几何猜想：对于 $b_1=0$ 且 $b_2>1$ 的代数曲面，不可能存在 $b_2$ 条跨越（有理）同调、亏格 g>0 的光滑不相交复曲线。