准 $F^{\infty}$-分割高度与准 $F$-正则高度：关于理想 Gorenstein 奇点与graded环

本文研究准 $F$-奇异性的一个现象：在适当假设下，准 $F^{\infty}$-分割高度（$\mathrm{ht}^{\infty}$）的有限性蕴含准 $F$-正则性，且$\mathrm{ht}^{\infty}$ 与准 $F$-正则高度（$\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$）相等。我们在两个重要的孤立 Gorenstein 奇点类中证明了这种相等性。首先，我们明确计算所有理想 Gorenstein 双点（rational double points）的 $\mathrm{ht}^{\infty}$ 和 $\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$，表明每个非 $F$-纯的理想 Gorenstein 双点都满足 $\mathrm{ht}^\infty = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$。其次，对于在 $F$-合理脱点谱（$F$-rational punctured spectrum）下局部化的graded非 $F$-纯正常 Gorenstein 环，我们再次得到相等性 $\mathrm{ht}^\infty = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$。