弯曲空间中的量子谐振子与开普勒-库仑问题：形变形状不变性、点正则变换与有理扩展

从多个视角分析了常曲率 $d$ 维空间中的量子谐振子与开普勒-库仑问题。在形变超对称框架下，相应的非线性势被证明展现出形变形状不变性性质。通过使用点正则变换方法，两个形变的薛定谔方程被映射为对应于某些形状不变势的常规方程，这些势的有理扩展是众所周知的。然后逆点正则变换给出了弯曲空间中谐振子与开普勒-库仑势的一些有理扩展。详细研究了球面上的谐振子与双曲空间中的开普勒-库仑势，并证明它们的扩展与欧几里得空间中已知的扩展一致。未扩展与已扩展势之间的伴生关系在形变超对称框架下得到解释。那些与某些未扩展势等谱的扩展势被证明表现出形变形状不变性，在开普勒-库仑情形中，这种不变性还通过平移有理部分分母中出现的多项式的次数而得到扩充。