量子几何动力学重探 II. 正定度规的希尔伯特空间

本文是一系列旨在重振量子几何动力学纲领的论文中的第二篇。我们的方法引入超曲面形变代数的格点正则化，使得每个格点携带一组由空间度规分量及相应共轭动量给出的正则变量。为量化该理论，我们描述了对正则对易关系的表示，其强制算符 $\hat q_{ab} s^a s^b$ 对所有 $s$ 的选择均为正。此外，确保了 $\hat q_{ab}$ 和 $\hat p^{ab}$ 的对称性。这反映了空间度规应为正定对称张量的物理要求。为此，我们采用空间度规到具有正对角元的上三角矩阵的 Cholesky 分解。此外，我们的希尔伯特空间还承载标架场的表示，并自然分离物理与规范自由度。最后，我们为我们的表示引入了 Weyl 量子化的推广。我们想强调，我们所提出的方法论可用于物理学的其他领域，特别是在构型空间受自由度间复杂关系约束的情形中。