非退化度规、超曲面形变代数、无反常表示与量子引力中的密度权

经典广义相对论中的一个基本假设是度规场在时空中处处非退化。特别地，柯西面上的诱导度规必须处处非退化。只有在此假设下，才能推导初值约束之间的超曲面形变代数，这一点从闭合该代数需要诱导度规的“逆”这一事实来看是绝对清楚的。该陈述与人们可能赋予空间度规的密度权无关。因此，量子引力中超曲面形变代数无反常表示的明确定义必须处理经典理论所需的诱导度规非退化问题。在圈量子引力（LQG）所采用的希尔伯特空间表示中，大多强调在自旋网络态的稠密定义域上定义逆度规算符，尽管它们表示的诱导量子几何几乎处处退化。毫不奇怪，在此定义域上证明约束代数的闭合遇到困难，因为这是一个经典禁戒的量子理论扇区，且位于经典超曲面形变代数的定义域之外。人们提出了各种建议来解决此问题，如非标准算符拓扑、对偶空间（habitat）和密度权，涉及LQG的量子动力学。在本文中我们总结这些进展，并论证在LQG表示中坚持非退化态的稠密定义域可自然解决该问题，从而可能避免上述非标准构造。