量子玻色代数与旗簇的泊松几何

Kashiwara在其关于晶体基的工作中引入了半单李代数$\mathfrak g$的量子化泛包络代数的一种退化，他称之为量子玻色代数。本文中，我们构造了与所有正根相关的Kashiwara算子，并用它们定义Kashiwara量子玻色代数的一个变体。我们证明我们变体正半部分的拟经典极限是形如$(P \simeq \mathbb C[\mathfrak n^{\ast}], \, \{\~~,\~~\}_P)$的泊松代数，其中$\mathfrak n$是$\mathfrak g$的正部，$\{\~~,\~~\}_P$是一个秩与$\mathfrak n^{\ast}$上的Kirillov-Kostant括号$\{\~~,\~~\}_{KK}$相同但与之不同的泊松括号。此外，我们证明在A型的特例中，任意线性组合$a_1 \{\~~,\~~\}_P + a_2 \{\~~,\~~\}_{KK}$（$a_1, a_2 \in \mathbb C$）仍是泊松括号。在一般情形，我们建立了$P$与旗簇中开Bruhat胞上正则函数泊松代数的同构。在A型中，我们还构造了开Bruhat胞上的一个Casimir函数及其量子化，可视为由最高根的根向量定义的$\mathfrak n^{\ast}$上线性函数的类似物。