仿射群子群的量子化

考虑局部紧群$G=Q\ltimes V$，其中$V$为阿贝尔群且$Q$在对偶阿贝尔群$\hat V$上的作用具有满测度的自由轨道。我们证明此类群$G$可以三种等价方式量子化：(1) 通过由$G$在$L^2(V)$上的典范不可约表示定义的伽罗瓦对象作反射；(2) 通过使用由$V\times\hat V$的$G$-等变Kohn-Nirenberg量子化得到的对偶$2$-闭上链扭转$G$的群冯·诺依曼代数上的余乘；(3) 通过由$Q\ltimes\hat V$的两个同构于$Q$的子群构成的匹配对定义的双交叉积。在实数上的$ax+b$群这一最简单情形中，(2)中的对偶闭上链是Jordanian扭转的解析类比。它最初由Stachura用不同思想发现。此情形中方法(2)与(3)的等价性意味着Baaj-Skandalis的量子$ax+b$群同构于Stachura定义的量子群。在此过程中我们证明了任意局部紧群$G$的若干结果。利用De Commer近期结果，我们证明一类$G$-伽罗瓦对象由$H^2(G;\mathbb T)$中的某些上同调类参数化。这推广了Wassermann与Davydov在有限群情形中的结果。一新现象是，即便$H^2(G;\mathbb T)$中的单位类也可对应于非平凡伽罗瓦对象。具体而言，我们证明任意非平凡局部紧群$G$，若其群冯·诺依曼代数为I型因子，则承认一类典范的对偶$2$-闭上链上同类，使得对应的$G$量子化既非交换也非余交换。