可逆马尔可夫链的定量谱光滑性与有限时间谱热力学

我们通过精确的谱松弛动力学研究可逆马尔可夫链的有限时间谱光滑性。尽管这些基本恒等式源自 $L^2(\pi)$ 上的自伴性，但围绕松弛算子 $\mathcal{G}=I-P$ 组织动力学，揭示了传统渐近估计中不可见的有限时间结构。对于 $\lambda_2>\lambda_3$ 的链，我们在滞后模式捕获总谱能的 $1-\delta$ 比例的第一个时刻，建立了对刚性时间 $T_{\mathrm{rigid}}(\delta)$ 的显式双侧界。这些界限最多相差一步，表明刚性出现的控制由谱分离比 $\lambda_3/\lambda_2$ 而非经典间隙 $1-\lambda_2$ 决定。我们发展出谱熵理论，满足确切平衡律 $\Delta S=\mathrm{Cov}/\rho-D_{\mathrm{KL}}$，并给出熵传递的标准协方差表示。在两模情况下的协方差在半刚性阈值 $T_{\mathrm{rigid}}(1/2)$ 处精确改变符号，此时谱熵取得最大值 $\log 2$。对于一般链，我们获得单调熵衰减的尖锐充分刚性准则。应用于幂迭代，本框架给出精确误差恒等式，可观测谱方差公式 $\mathrm{Var}_{p_k}[\lambda^2]=\rho_k(\rho_{k+1}-\rho_k)$，以及可证明保证的数据驱动自适应停止准则。这些结果表明，可逆马尔可夫链具备支配谱净化、熵动力学和可观测收敛的精确有限时间刚性结构。