通过系统特征值的离散时间可控性格拉姆矩阵及其逆的谱分解

本文为离散时间线性动力系统的格拉姆矩阵开发了一个闭式谱分解框架。主要结果提供了离散时间可控性格拉姆矩阵及其逆的显式分解，以动力系统矩阵的特征值表示，从而得到这些矩阵的模态分辨表示。与更常见的使用格拉姆矩阵的整体特征（如特征值、奇异值、行列式和基于迹的度量）的方法不同，所提出的方法通过与单个模态及其两两组合相关的贡献来描述格拉姆矩阵本身的内部结构。该框架进一步扩展到离散时间李雅普诺夫差分方程的求解，将所得公式置于与时变和非线性系统的分析和计算相关的更广泛语境中。此外，该分解被推广到动力系统矩阵具有多重特征值的系统，使得能够闭式估计特征模态之间共振相互作用的影响。所提出的结果为离散时间系统中可控性、可观测性和稳定性的分析提供了结构工具，并补充了现有的基于格拉姆矩阵的方法，这些方法用于模型降阶、估计、执行器和传感器选择以及能量感知控制。除了其理论意义外，所得的分解可能支持改进的计算过程和更具信息量的性能准则的发展，适用于一系列离散时间控制问题。