六状态可 lumpable 马尔可夫链中放松谱压缩与分区约束谱压缩之间的严格间隙

本文研究了一个有限可逆 lumpable 马尔可夫链，其中放松谱压缩产生的行列式大于分区约束压缩。对于对称六状态 lumpable 链和正定算子 $T=P^2$，我比较放松基准 $\mathfrak D^{\mathrm{rel}}_3(T):=\sup_{U^*U=I_3}\det(U^*TU)$ 与分区约束基准 $\sup_{\mathcal A\,3\text{-}partition}\det Q_{\mathcal A}(T), \quad Q_{\mathcal A}(T)=H_{\mathcal A}^*TH_{\mathcal A}$。此处分区约束基准是由状态空间真分区规范化指示向量诱导的压缩。我推导了两个解析中心分区家族的闭式公式，证明了在局部模式主导 regime 下对两者的严格上界，并将这些上界与对所有 $90$ 种分区 (分为三个非空单元) 的穷举结合起来。对于该模型，可获得严格的全局间隙：$\sup_{\mathcal A}\det Q_{\mathcal A}(T)<\mathfrak D^{\mathrm{rel}}_3(T)$。因此，在该模型中，即使在全局分区约束优化后，指示器基于分区框架也严格弱于放松正交规范框架。