非可逆马尔可夫链的非渐近混合时间分析

我们引入了一个统一的算子理论框架，用于分析有限状态 ergodic 马尔可夫链的混合时间，这种框架适用于可逆和非可逆动力学。我们分析的核心对象是投影转移算子 $PU_{\perp 1}$，其中 $P$ 是转移核，$U_{\perp 1}$ 是 $\ell^{2}(\pi)$ 中均值为零子空间上的正交投影，$\pi$ 为平稳分布。我们表明，$(PU_{\perp 1})^k$ 的可计算矩阵范数给出非渐近混合时间/平稳性距离，并界定滞后 $k$ 处的自相关。我们首次在一般非可逆情况下的点卡方收敛性质。我们提供了基于 $PU_{\perp 1}$ 谱的 $\chi^{2}(k)$ 界，包括其不同非零特征值的模大小、代数与几何重数之间的差异、相似变换的条件数以及平稳分布最小原子处的常数（所有这些都是可计算的）。此外，对于可对角化的 $PU_{\perp 1}$，我们提供满足离散时间马尔可夫链仪差现象的显式常数。我们的框架使得对具有挑战性的非可逆链（包括 V 形分布的动量采样器）进行直接计算的收敛界限成为可能。我们给出三角形上非可逆漫步的最紧已知界。我们的结果结合简单的回归揭示了动量采样器的基本洞见：尽管对于均匀分布，$n\log{n}$ 次迭代就足以实现 $\chi^{2}$ 混合，但对于 V 形分布，仍需 $n^{1.969}\log{n^{1.956}}$ 次迭代。该框架表明，对于 ergodic 链，松弛时间 $\tau_{rel}=\|\sum_{k=0}^{\infty}P^{k}U_{\perp 1}\|_{\ell^{2}(\pi)}$。