多尺度亚稳态动力学与扰动马尔可夫链的渐近平稳分布

我们考虑一类简单但重要的亚稳态离散时间马尔可夫链，称之为扰动马尔可夫链。基本上，我们假设转移矩阵依赖于参数 $\varepsilon$，并在 $\varepsilon$ 趋于某极限时收敛。我们进一步假设该链在 $\varepsilon$ 非零时是不可约的，但在 $\varepsilon$ 趋于极限时可能具有多个本质通信类。这导致了可能在多个时间尺度上出现的亚稳态行为。对于每个相关的时间尺度，我们推导了两个有效链。第一个链描述了（可能是不可逆的）亚稳态动力学，而第二个链是可逆的，描述了亚稳态逃逸概率。我们给出了这些链的渐近转移概率的闭式概率表达式，同时也展示了如何以快速且数值稳定的方式计算它们。因此，我们获得了用于计算 committor 函数和极限平稳分布的高效算法。