有限状态马尔可夫链二级大偏差速率函数的亚稳态 $\Gamma$ 展开

我们考察马尔可夫链亚稳态行为的两种解析刻画。第一种以其转移概率表示，第二种以其大偏差速率泛函表示。考虑在固定有限状态空间 $V$ 上演化的连续时间马尔可夫链序列 $(X^{(n)}_t:t\ge 0)$。在关于跳跃速率的假设下，我们证明存在时间尺度 $\theta^{(p)}_n$ 与支持互不相交的概率测度 $\pi^{(p)}_j$，$j\in S_p$，$1\le p \le q$，使得 (a) $\theta^{(1)}_n \to \infty$，$\theta^{(k+1)}_n/\theta^{(k)}_n \to \infty$，(b) 对所有 $p$，$x\in V$，$t>0$，从 $x$ 出发，$X^{(n)}_{t \theta^{(p)}_n}$ 的分布当 $n\to\infty$ 时收敛于概率测度 $\pi^{(p)}_j$ 的凸组合。该凸组合的权重自然依赖于 $x$ 和 $t$。令 $I_n$ 为 $X^{(n)}_t$ 当 $t\to\infty$ 时的二级大偏差速率泛函。在关于跳跃速率的相同假设下，并进一步假定过程可逆，我们证明 $I_n$ 可写为 $I_n = I^{(0)} \,+ \, \sum_{1\le p\le q} (1/\theta^{(p)}_n) \, I^{(p)}$，其中某些速率泛函 $I^{(p)}$ 仅在测度 $\pi^{(p)}_j$ 的凸组合处取有限值：$I^{(p)}(\mu) < \infty$ 当且仅当 $\mu = \sum_{j\in S_p} \omega_j\, \pi^{(p)}_j$ 对 $S_p$ 上某概率测度 $\omega$ 成立。